Аксиоматический метод в Началах Евклида Аксиоматический метод
Аксиоматический метод в Началах Евклида.
Аксиоматический метод Появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Основные понятия – элементарные понятия, которые нельзя определить через другие. Утверждения, принимаемые без доказательства называются аксиомами.
Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём.
В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.
«Начала» Евклида.
Аксиоматический метод построения геометрии впервые был использован Евклидом в его знаменитом трактате, который он назвал «Начала» явились результатом собирания и упорядочения более ранних работ; однако от этих работ они в корне отличаются систематичностью изложения. Изложение «Начал» носит строго догматический характер. Многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.
Оригинальные манускрипты «Начал» до нас не дошли. С 1482 года книга «Начала» выдержала более 500 изданий на всех языках мира. Первое печатное издание «Начал» в переводе Кампануса появилось в 1482 году. Оно было выпущено в свет в Венеции Ратдольтом, основавшим крупное издательство. Первое издание греческого текста «Начал» появилось в 1503 году
Ø В России было выпущено пять изданий «Начал» . Первые три из них относятся еще к 18 веку. Издание И. Сатарова было выпущено в 1739 году и Сатарова представляло собой перевод восьми книг «Начал» с латинского языка. Ø Через 30 лет был выпущен русский перевод «Начал» , сделанный Н.
Кургановым с французского языка. Н. Кургановым Ø В 1784 году появился перевод П. Суворова и В. Никитина, сделанный с греческого текста под Никитина названием «Евклидовы стихии» Ø Наиболее точный перевод этой книги с греческого сделал в 1948 -1950 гг. Д. Д.
Мордухай-Болтовской, добавив к ней многочисленные комментарии.
Структура «Начал» . Начала» состоят из тринадцати книг.
Каждая книга начинается определением всех терминов, которые в ней в первый раз появляются; первой книге предпосланы также аксиомы и постулаты У Евклида: постулат — предложение, указывающее свойства геометрической фигуры; аксиома — предложение, описывающее свойства всякой величины.
За ними следуют предложения, под которыми подразумеваются то теоремы, то задачи (конструктивные). Последний перевод текста «Начал» содержит 15 книг. Книги 14 -я и 15 -я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14 -я во 2 в. до н. э. , а 15 -я в 6 в.
Книга 1. Материал, содержащийся в 1 -й книге – фундамент, на котором строится вся геометрия! 23 определения 5 постулатов 9 аксиом. 1 -я половина 1 -й книги – учение об отрезках, углах и треугольниках; 2 -я половина – теория параллельных линий. В первой книге доказано 48 предложений. Среди них можно выделить: Поризм — следствие, т. е.
теорема, непосредственно вытекающая из предыдущей; доказательство которой , как тривиальное опускается. Лемма — вспомогательное предложение, которому целесообразно дать место для доказательства теоремы. Евклид доказывает элементарные свойства треугольников, среди которых – условия равенства; описывает построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой.
Книга заканчивается теоремой Пифагора.
Книга 2. Основы геометрической алгебры: все величины представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. ( числа – отрезки, произведение двух чисел – площадь прямоугольника, произведение трех чисел – объем).
Книга содержит 10 предложений. Некоторые из них: 4(а + b)а +b²=[(а + b) +а]². Дает развитие теореме Пифагора, ее обобщение на всякий треугольник. В каждом предложении 2 -й книги Евклид оперирует прямоугольником.
Само понятие о прямоугольнике принадлежит собственно евклидовой геометрии.
Книга 3. Посвящена геометрии окружности: учение о круге и окружности, о секущих и касательных и об углах, образуемых ими, а также о степени точки относительно окружности.
1 –я часть содержит свойства хорд и касательных(30 предложений); 2 – я часть содержит учение об углах, вписанных в окружность, составленных хордой и касательной, и об отрезках хорд и секущих, пересекающихся в одной точке(7 предложений).
Книга 4. Изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее. Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой.
Доказательства – в правильный 5 -к можно вписать окружность и около правильного 5 -ка можно описать окружность – выполняются средствами абсолютной геометрии.
Доказательство о пересечении серединных перпендикуляров не доведено до конца.
Книги 5 и 6. В 5 -й книге разработана теория пропорций, которая прилагалась и к соизмеримым и к несоизмеримым величинам. (в понятие величины Евклид включал длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. ).
В геометрической форме излагается теория рациональных и иррациональных чисел, включая и основные действия над ними. Начинается восемнадцатью определениями.
В 6 -й книге теория пропорций книги 5 применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам. Первыми шестью книгами «Начал» исчерпывается планиметрия!
Книги 7, 8 и 9. Трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам.
Содержатся учение о НОД и НОК(7 -я книга), а также учение о непрерывных пропорциях, относимых к числам, и учение о соотношении между вторыми и третьими степенями чисел(8, 9 книги).
В этих книгах представлена известная теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, доказываемая методом от противного, а также теорема о четных совершенных числах.
Книга 10. Содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Самая обширная книга во всем сочинении; содержит 115 предложений и составляет около третьей части всего сочинения. Книге предшествует обширная схолия неизвестного автора. 1 -е предложение содержит теорему, вводящую в правильно построенное учение о пределах.
Книга 11. Посвящена стереометрии (теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости; теоремы о плоских углах многогранного угла, о параллелепипеде, о равенстве объемов призм с одинаковыми высотами и др. ). Книге предписано 28 определений. Определения недостаточно содержательны. Первые 2 определения: 1. Телом наз. то, что имеет длину, ширину и глубину. 2. Граница же тела есть поверхность.
Книги 12, 13. В книге 12 с помощью метода исчерпывания сравниваются площади криволинейных фигур с площадями многоугольников.
Метод исчерпывания – метод, которым пользовались древние и из которого создались метод пределов и интегральное исчисление.
Предметом книги 13 является построение правильных многогранников (тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр) и утверждается, что других правильных тел не существует.
Логическое строение «Начал» Евклида. Открываются «Начала» определением основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии – постулатов и аксиом, принимаемых без доказательства и являющихся основой всякого доказательства.
Чертежи и рисунки – вспомогательная роль. Всякое геометрическое предложение, как бы оно просто ни выглядело, должно быть доказано, т. е. выведено дедуктивным путем как следствие из ранее предпосланного списка аксиом и постулатов.
Все они составляют аксиоматику Евклида.
Определения 1 -й книги. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Точка есть то, что не имеет частей. Линия же – длина без ширины. Концы же линии – точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Концы же поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по прямой.
Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол наз. прямым. Когда же прямая, восставленная на прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая наз. Перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
Тупой угол – больший прямого. Острый же – меньший прямого.
13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Граница есть то, что является оконечностью чего-нибудь. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или какихнибудь границ. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии(кот. наз.
окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой. Центром же круга является эта точка. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности. Центр же полукруга – то же самое, что и круга.
Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние – между тремя, четырехсторонние же – четырьмя, многосторонние же которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
20. 21. 22. 23. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две стороны, равносторонний же – имеющий три неравные стороны.
Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольные же – имеющий тупой угол, а остроугольный – имеющий три острых угла.
Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, равносторонний же – прямоугольная, но не равносторонняя, — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид(параллелограмм) – имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной.
Остальные же четырехугольники будем называть трапециями. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются. В определениях используются понятия границы, длины, ширины…, которые сами нуждаются в определениях.
Постулаты – требования, которые читатель должен принять, приступая к изучению дисциплины. Допустим: 1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой. 3.
И что от всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. И что все прямые углы равны между собой. 5.
И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Аксиомы – общие достояния ума, истины, которые признаются всяким человеком, которыми человек неизбежно руководится как во всяком научном, так и в любом повседневном рассуждении. 1. Равные одному и тому же равны и между собой. 2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. 3.
И если от равных отнимаются равные, то и остатки равны. 4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны. 5. И удвоенные одного и того же равны между собой. 6. И половины одного и того же равны между собой. 7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. 8. И целое больше части. 9.
И две прямые не содержат пространства.
Постулаты – это те же аксиомы, но только геометрического содержания, и обслуживают только геометрию. Во времена Евклида разница между постулатами и аксиомами ощущалась значительней. С современной точки зрения существенной разницы между понятиями «постулат» и «аксиома» нет.
Вопросы для повторения. 1. Найдите соответствие. 1. Книга 2 А. Разработана теория пропорций. 2. Книга 3 Б. Посвящена стереометрии. 3. Книга 5 В. Геометрия окружности. 4. Книга 11 Г. Построение правильных многогранников. 5. Книга 13 Д. Основы геометрической алгебры. Ответы: 1 – Д; 2 – В; 3 – А; 4 — Б; 5 – Г.
2. Требования, которые читатель должен принять, приступая к изучению дисциплины – это: a) аксиомы; b) постулаты; c) теоремы; d) схолии. Ответ: постулаты.
3. В чем заключается аксиоматический метод построения теории? Ответ: аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Используемая литература. 1. 2. Александров А. Д. Основания геометрии. Учебное пособие для вузов. — М. : Наука, 1987. — 288 с. Каган В. Ф. Основания геометрии, Госуд. Изд-во технико-теорет. литературы. М. , 1949.
Источник: https://present5.com/aksiomaticheskij-metod-v-nachalax-evklida-aksiomaticheskij-metod/
История математики — Аксиоматический метод
Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.
Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать.
В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами.
Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.
Выделив основные понятия и сформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.
Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии.
Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики.
В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.
После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту.
Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались «Элементы».
Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе «Начала». От латинского названия «Начал» произошёл термин «элементарная геометрия».
Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по «Началам» Евклида. В «Началах» имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами.
Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида.
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. 1 — 6 книги посвящены планиметрии, 7 — 10 книги — об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом — «общие понятия», остальные называются «постулатами». Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий — с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый
постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Источник: http://55referatov.ru/doc/referaty_po_tochnym_naukam/istoriya_matematiki/2265-aksiomaticheskiy_metod.php
Аксиоматические методы в математике
Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т.д. Аксиоматический метод можно определить как теорию, которая строится на предварительно выбранной системе неопределяемых понятий и отношений между ними.
В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее вводятся аксиомы т.е.
основные положения рассматриваемой теории, принимаемые без доказательств. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом.
Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.
Изложение этой теории в «Началах» Евклида не безупречно. Евклид здесь пытается дать определение исходных понятий (точки, прямой, плоскости). В доказательстве теорем используются нигде явно не сформулированные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.
В книге Евклида «Начала» изучаются свойства поверхностей, линий и точек. Этим объектам даются «определения», которые не являются определениями в смысле современной математики, но помогают представить себе «определяемые» объекты наглядно (например, «точка есть то, что не имеет частей» и т.п.).
Основные отношения между точками, линиями и поверхностями – такие, как, например, «точка находится на линии», никак специально не описываются, их смысл считается самоочевидным.
В начале книги формулируются некоторые свойства основных объектов и отношений – «аксиомы» и «постулаты», принимаемые без доказательства, и далее из аксиом и постулатов выводятся другие свойства этих объектов и отношений – теоремы.
Но при этом фактически используются не только те свойства основных объектов и отношений, которые сформулированы в виде аксиом и постулатов, но и ряд других свойств, не сформулированных явно, но кажущихся очевидными ввиду наших наглядных представлений о точках, линиях и поверхностях. Используются эти «наглядные» свойства, разумеется, также неявно – Евклид просто не замечал, что пользуется ими.
Абстрактный аксиоматический метод отличается от конкретного тем, что он имеет дело с «вещами» произвольной природы (абстракциями).
В противоположность этому, при современном абстрактном аксиоматическом изложении геометрии или любой другой математической дисциплины конкретная природа основных объектов и отношений не имеет никакого значения, лишь бы выполнялись аксиомы; поэтому исключается неявное использование в доказательствах «наглядных» свойств объектов и отношений.
Тем самым математическое рассуждение приобретает полную строгость, становясь цепочкой умозаключений, в каждом из которых из точно сформулированных посылок получается столь же точно сформулированное следствие с помощью некоторого «логического правила».
Однако сами логические правила не имеют еще точных формулировок и остаются интуитивными. Поэтому после появления абстрактного аксиоматического метода естественно возникло стремление дать правилам логического вывода «математически строгие» формулировки.
Решение этой задачи облегчалось тем, что для логических операций уже имелись символические обозначения и существовала практика трактовки логических операций как математических, а в математике был уже накоплен опыт изучения операций самой различной природы. И действительно, в конце XIX и начале XX в.
точные формулировки правил дедуктивного вывода были найдены. Системы таких правил получили название логических исчислений, т.е. строго определенных правил дедуктивного вывода.
Первые логические исчисления по своей формальной структуре были похожи на аксиоматические системы, о которых шла речь выше, отличаясь от них лишь тем, что не только аксиомы, но и правила вывода формулировались в явном виде. Такие логические системы аксиом находят широкое применение и сейчас.
Непротиворечивость аксиоматической теории является одним из основных требований, предъявляемых к системе аксиом данной теории. Она означает, что из данной системы аксиом нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения.
Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования или интерпретаций.
Здесь в качестве основных понятий и отношений выбираются элементы некоторого множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выбранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории.
Так, аналитическая геометрия является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме непротиворечивости другой теории.
Большинство интерпретаций для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств, в связи с этим важно доказать непротиворечивость теории множеств.
Источник: https://3ys.ru/elementy-matematicheskoj-logiki/aksiomaticheskie-metody-v-matematike.html
Аксиоматический метод построения научной теории
Аксиоматический метод построения научной теории
Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем : выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными.
Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать.
В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами.
Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.
Выделив основные понятия и сформулировав аксимы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.
Так как нельзя дать единое определение основных понятий для всех геометрий, то основные понятия геометрии следует определить как объекты любой природы, удовлетворяющие аксиомам этой геометрии.
Таким образом, при аксиоматическом построении геометрической системы мы исходим из некоторой системы аксиом, или аксиоматики.
В этих аксиомах описываются свойства основных понятий геометрической системы, и мы можем представить основные понятия в виде объектов любой природы, которые обладают свойствами, указанными в аксиомах.
После формулировки и доказательства первых геометрических утверждений становится возможным доказывать одни утверждения (теоремы) с помощью других. Доказательства многих теорем приписываются Пифагору и Демокриту.
Гиппократу Хиосскому приписывается составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались «Элементы».
Потом, в III в. до н.э., в Александрии появилась книга Евклида с тем же названием, в русском переводе «Начала». От латинского названия «Начал» произошёл термин «элементарная геометрия».
Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по «Началам» Евклида. В «Началах» имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами.
Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют «Начала» предшественников Евклида.
«Начала» Евклида состоят из 13 книг. 1 — 6 книги посвящены планиметрии, 7 — 10 книги — об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом — «общие понятия», остальные называются «постулатами». Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий — с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый
постулат гласил : «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Пять «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов : «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части».
Далее началась критика геометрии Евклида.
Критиковали Евклида по трём причинам : за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида.
Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему : «Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую».
Критика разрыва между геометрией и арифметикой привела к расширению понятия числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели к тому, что в начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф.
Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением : «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную».
Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида.
Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри П�
Источник: https://www.studsell.com/view/7409/
Проблема метода в математике
Если исходить из того, что метод — это система регулятивных правил и принципов практической деятельности, выработанных субъектом на основе закономерностей изучаемого объекта, то в методах естественных наук и методах математики мы найдем нечто общее.
Вместе с тем методы естественных наук в гораздо большей степени обусловлены материальными объектами, несут в себе черты реальной области исследования.
Физика, биология, химия могут изучать один и тот же объект различными методами (как и математика), но они остаются в рамках одной естественно-научной дисциплины, ибо для них реальный объект, а не метод исследования составляет основную специфическую черту.
Что же касается математики, то для нее применение того или иного своего метода решается не конкретной материальной природой предмета исследования, а исключительно его формальными, структурными свойствами, и прежде всего теми количественными отношениями и пространственными формами, которые определяют сущность предмета математики.
Специфика методов математики, по мнению В.А. Мейдера, приемы абстрагирования и идеализации в науке обусловили особое внимание математиков и философов к проблемам гносеологических оснований.
Совсем непростым для них оказался вопрос о том, какие способы построения («конструирования») математических объектов допустимы. Оказалось, что важное значение для решения данного вопроса имеет уяснение сущности аксиоматического метода, который придает математике дедуктивный характер.
Математика добровольно «соглашается» ограничить свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений. Она не требует в дальнейшем дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью.
Поэтому везде (в физике, химии или других науках), где обнаруживается такой «механизм» познания, можно утверждать, что осуществляется аксиоматическое построение науки.
В статье «Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в математике» известный специалист в математической логике и философии математики С.А.
Яновская (1896— 1966) писала, характеризуя особенности математического метода: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении или не вытекающими из него.
В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении.
В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кегель руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, то есть, строго соблюдая все правила игры».
Если рассматривать процесс развития аксиоматического метода от «Начал» Евклида, то можно выделить по меньшей мере три основных периода:
1) период содержательной аксиоматизации;
2) период полуформальной аксиоматизации и
3) период формальной (формализованной) аксиоматизации.
Исходя из этого можно говорить о содержательных, полуформальных и формализованных системах аксиом тех или иных теорий (причем, не только математических). Правда, формализованные системы аксиом имеют отношение к фундаменту математики (скажем, к математической логике, теории множеств, арифметике натуральных и действительных чисел и др.).
Принципы содержательной аксиоматики господствовали примерно до середины XIX в., полуформальной — в последней четверти XIX в., а датой рождения формализованного аксиоматического метода принято считать 1904 г., когда немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943) выдвинул основные принципы формализации математики в работе «Основания геометрии».
При построении той или иной теории на содержательной системе аксиом они (аксиомы) описывают свойства и отношения объектов лишь из одной области. Эти объекты получают прямое истолкование (определение) до задания списка аксиом рассматриваемой теории. Рассуждение строится на формальной логике Аристотеля.
Истоки этого метода приводят нас к древнегреческим математикам и философам: Пифагору, Зенону, Архиту, Евдоксу, Теэтету, Платону, Аристотелю и др.
Наиболее совершенным построением этого периода были «Начала» Евклида в 13 книгах (точнее, главах), показавшие образец содержательно-аксиоматического метода построения теории не только в геометрии, но и определившие методологию всей математики и других наук на многие столетия вперед.
В фундаменте «Начал» лежат определения, постулаты и аксиомы, то есть те предложения, которые принимаются без доказательства, но на основе которых логически строится (и в которых в скрытой форме содержится) все содержание «Начал».
Различие между постулатами и аксиомами состоит в том, что первые имеют конструктивный характер, относятся только к геометрически фигурам и задают алгоритмы их построения, а вторые — частично и к числам, связанным с геометрическими величинами (длина, величина угла, площадь, объем и т. д.).
ГЛАВА 2.
Философия физики
Альберт Эйнштейн (фото 1925 г).
ГЛАВА 2. Философия физики
Источник: https://cyberpedia.su/15x3b4e.html
Аксиоматический метод
Египетские и вавилонские математики делали свои расчеты с практической целью. Они думали лишь о том, как достичь результата.
Греческих мыслителей интересовал другой вопрос: почему дело обстоит именно так, а не иначе? Чтобы объяснить сложное, они ссылались на более простое и шаг за шагом, следуя законам логики, доходили до самых «простых» начал. И наоборот: из простых начал логически выводили сложные утверждения.
Платон, самый авторитетный мыслитель античности, придавал математике огромное значение, он даже запретил посещать свою знаменитую Академию молодым людям, не знавшим геометрии.
Ученики Платона первыми поняли абстрактный характер математических объектов. Они очень ясно отличали реальный мир от мира идей.
Реальные предметы, которые мы воспринимаем органами чувств, подвержены изменением, но математические модели этих предметов постоянны и универсальны. Античные философы искали истину в мире идей.
Они хотели познать то, что было, есть и будет всегда, а не то, что возникает и исчезает с течением времени. Их интересовали свойства идеального круга, а не расходящиеся круги на воде.
Египетские и вавилонские мыслители воспринимали геометрические объекты чувственно. Для них утверждения «куб сделан из шести квадратов» и «куб сделан из дерева» звучали примерно одинаково.
Греки представляли все совершенно иначе.
Когда Фалес писал, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр круга, – обязательно прямой, он пренебрегал тем, из чего сделан этот круг – из твердого материала или начерчен на песке.
Греческая математика, отрешенная от физического мира, выработала особый тип доказательства: физический опыт во внимание не принимался, надежными считались лишь утверждения, доказанные ранее. Они-то и использовались для дальнейших умозаключений. Например, доказательство упомянутой теоремы Фалеса опиралось на то, что соответственные углы всегда равны и т.д.
Но процедура редукции (сведения сложного к простому) не могла продолжаться до бесконечности. В конце концов мысль упиралась в такие положения, которые доказательства не имели. Их назвали аксиомами, или постулатами. Евклид в своей книге «Начала» построил на нескольких аксиомах все здание известной в те времена математики.
Он сформулировал эти аксиомы как нечто очевидное и потому не требующее доказательств.
Но вот беда: если первые четыре аксиомы (постулата) оказались ясными и краткими, то пятая, о параллельных прямых, выглядела не совсем убедительно и формулировалась не очень просто.
В течение многих столетий выдающиеся математики пытались вывести ее из остальных аксиом – но безрезультатно.
И лишь в XIX веке Гаусс, Лобачевский и Бойяи независимо друг от друга смогли показать, что существуют – и имеют глубокий математический смысл – другие, неевклидовы геометрии, в которых эта аксиома не соблюдается.
В самом начале своей книги Евклид сформулировал определения основных геометрических понятий – точки («точка – это то, что не имеет частей»), прямой, плоскости и т.д. В дальнейшем тексте он больше не вспоминал об этих объектах, поскольку хотел лишь дать читателю точное представление о них, чтобы в дальнейшем не возникало никаких разночтений.
Между тем касательно «основных» определений появилось и другое мнение. Ученые стали придавать значение не столько самим математическим объектам, сколько соотношениям между ними и тем операциям, которые можно над ними произвести.
При таком подходе определения сами выводятся из более простых (в пределе – элементарных) математических понятий. Например: «окружность есть абстрактное геометрическое место точек, удаленных от произвольной точки Р на одинаковое расстояние r». Аналогичным образом можно было бы препарировать термин «расстояние» – и так далее.
Теперь, вообще говоря, можно было всюду в математических текстах заменить слово «окружность» его определением.
Гильберт, а за ним и другие математики истолковали систему аксиом как своеобразную языковую игру. Математические предметы почти перестали что-либо значить, все они свелись к определениям, т.е. к некоторым «правильно построенным» предложениям.
Главное, чтобы эти предложения были безупречны с точки зрения «математической грамматики». Вместо слов «точка», «прямая», «плоскость» в принципе можно было бы сказать: «стол», «стул», «пивная кружка» – лишь бы в математических предложениях были соблюдены начальные аксиомы и логические правила вывода.
Сами предметы теперь определялись через аксиомы, т.е. в конечном счете через отношения к другим предметам.
Новое мышление открывало новые аспекты математики. Некоторые математические объекты обрели «напарников».
Так, если в аксиомах точку заменить прямой, то все утверждения, верные для точки, окажутся верными и для прямой: две точки задают единственную прямую, две прямые (пересекаясь) задают единственную точку… Если говорить о параллельных прямых, то в рамках евклидовой геометрии точка их пересечения считается фиктивной и бесконечно удаленной, но все же остается «точкой». Отталкиваясь от мысли греков, математики пошли дальше: стали строить все новые и новые модели, т.е. системы, отвечающих изначальному избранному набору аксиом, при этом все полученные модели обладали описанной выше дуальностью (т.е. двойственностью).
В сложившихся условиях пришлось внести некоторые языковые уточнения. Теперь нужно было различать между «истинным» и «правильным», или доказанным.
Если Евклид считал свои теоремы истинными, то современный математик назовет их лишь правильными, т.е. доказанными, признавая тем самым, что они корректно выведены из аксиом. Проверка математических утверждений на истинность потеряла в математике всякий смысл. Судить об этом теперь предоставили философии.
Набор аксиом, лежащий в основе математической системы, должен обладать тремя свойствами – непротиворечивости, полноты и независимости.
Независимость означает, что все аксиомы независимы друг от друга. Нельзя допустить, чтобы какая-нибудь из них могла быть доказана с помощью других. Такая аксиома теряет свой аксиоматический статус и превращается в обычное математическое утверждение, т.е. теорему. Этим требованием число аксиом сводится к минимуму.
Непротиворечивость означает, что из одного и того же набора аксиом нельзя одновременно вывести какое-либо утверждение и его отрицание. Логика утверждает, что каждое утверждение либо верно, либо неверно – «третьего не дано». Внутренне противоречивая теория бесполезна, потому что из нее можно вывести все что угодно.
Если непротиворечивость гарантирует, что нельзя одновременно вывести утверждение «А» и «не-А», то полнота означает о том, что с помощью данной системы аксиом всегда можно ответить, какое из двух противоречащих друг другу утверждений верно.
Иными словами, аксиом должно быть достаточно, чтобы судить о правильности любого утверждения. (Разумеется, речь идет лишь об утверждениях, «имеющих отношение к делу». Из аксиом о натуральных числах нельзя вывести ни возраст, ни рост математика.
)
Аксиоматический опыт математики не прошел бесследно для других наук. Физика – как классическая, так и современная – строит себя на основании постулатов. В свое время на тот же путь ступила и философия. Так, Спиноза разработал систему аксиом в области этики и вывел из этих аксиом многие этические нормы.
При подготовке этого материала были использованы сайты
http://www.hirnwindungen.de/mathe/hirn_philo_math.html
http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/istmat1.djvu
Источник: http://yos.ru/exact-sciences/29.html
Основания математики. Аксиоматический метод — PDF
канд. пед. наук, доц. Вячеслав Евгеньевич Пырков pyrkovve@yandex.ru. Математические предложения и доказательства в курсе геометрии основной школы План лекции 1. Формы мышления 2. Элементы доказательства
Подробнее
Лекция 5 Раздел 5. Дедуктивные теории. Понятие об эффективных и полуэффективных процессах (методах). Задание дедуктивных теорий. Свойства дедуктивных теорий: непротиворечивость, полнота, независимость
Подробнее
Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) МАТЕМАТИКА Математика это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Подробнее
Тема 1-1: Введение. Метод математической индукции. Множества и операции над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной
Подробнее
NovaInfo.Ru — 46, 2016 г. Физико-математические науки 1 РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ Шайхтдинова Гульназ Аликовна Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления,
Подробнее
Название курса Класс 7-9 Программа, на основе которой составлена рабочая программа Аннотация к рабочей программе по алгебре 7-9 класс Алгебра Рабочие программы по учебным предметам Алгебра 7-9 классы.
Подробнее
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ
Подробнее
Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс. Количество часов: Всего 170 час; в неделю 5 час. Плановых контрольных уроков 14 ч. Учебник Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных
Подробнее
Рабочая программа по алгебре 7-9 класс Программа обеспечивает достижение следующих результатов освоения образовательной программы основного общего образования: личностные: 1. Сформированность ответственного
Подробнее
Рабочая программа по математике (геометрии) 8 класс Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса Программа обеспечивает достижения следующих результатов освоения образовательной программы основного
Подробнее
Аннотация рабочей программы по предмету математика 8 класс Рабочая программа по изучению математики в 8 классе составлена на основе следующих документов: 1. Примерная программа основного общего образования
Подробнее
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Личностные Метапредметные Предметные первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;
Подробнее
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа учебного курса математики для пятых классов составлена на основе Примерной государственной программы по математике и программы курса математики для учащихся пятых
Подробнее
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Алгебра 8 класс Используемые учебные пособия: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова Алгебра 8 класс Учебник для обшеобразовательных учреждений М.: Просвещение ОАО «Московские
Подробнее
Рабочая программа по математике (алгебре) 8 класс Планируемые результаты освоения учебного предмета, курса В Примерной программе для основной школы, составленной на основе федерального государственного
Подробнее
Планируемые результаты изучения курса алгебры в 7 классе Рабочая программа обеспечивает достижение следующих результатов освоения образовательной программы основного общего образования: личностные:. сформированность
Подробнее
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ
Подробнее
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия «Лаборатория Салахова» Рассмотрено: Согласовано: Утверждаю: на заседании кафедры Протокол 1 от 2016г. Заведующий кафедрой Заместитель директора
Подробнее
Пояснительная записка. Рабочая программа по геометрии для 9 класса составлена на основе примерной программы основного общего образования по математике. Примерная программа по математике составлена на основе
Подробнее
Развиваем логическое мышление Программа учебного предмета «М атематика», разработанная для учебнометодического комплекта «Начальная школа ХХI века», отвечает основным идеям, представленным в федеральном
Подробнее
Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс. Программа по математике 5 класса разработана в соответствии с Федеральным компонентом государственного стандарта основного общего образования. Она включает
Подробнее
Пояснительная записка Статус программы Рабочая программа составлена на основе: -федерального компонента государственного стандарта второго поколения («Математика 5-9 классы» 2011), — Примерной программы
Подробнее
Планируемые результаты освоения учебного курса личностные: — ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию;
Подробнее
Источник: https://docplayer.ru/31083581-Osnovaniya-matematiki-aksiomaticheskiy-metod.html
Аксиоматические методы в математике
Полисемия
Полисемия, или многозначность слов возникает вследствие того, что язык представляет систему, ограниченную по сравнению с бесконечным многообразием реальной действительности, так что говоря словами академика Виноградова, » Язык оказывается вынужденным разносить бесчисленное множество значений по тем или иным рубрикам основных понятий».
(Виноградов «Русский язык» 1947). Нужно различать различное употребление слов в одном лексико-семантическом варианте и действительное различие слова. Так, например, словом (das)Ol можно обозначить ряд различных масел, кроме коровьего (для которого существует слово Butter).
Однако из этого не следует, что, обозначая различные масла, слово Ol будет иметь каждый раз другое значение: во всех случаях значение его будет одно и то же, а именно масло(всякое, кроме коровьего). Так же как например значение слова Tisch стол независимо от того, какой вид стола обозначает слово в данном конкретном случае.
Иначе обстоит дело, когда слово Ol обозначает нефть. Здесь на первый план выдвигается уже не сходство нефти по линии маслянистости с различными сортами масла, а особое качество нефти — горючесть. И при этом со словом Ol будут соотноситься уже слова, обозначающие различные виды топлива: Kohl, Holz и т.д.
Это дает нам возможность выделить у слова Ol два значения (или говоря иначе, два лексико-семантических варианта): 1) масло (не животное) 2) нефть. Обычно новые значения возникают путем переноса одного из существующих слов на новый предмет или явление. Так образуются переносные значения.
В их основе лежит либо сходство предметов, либо связь одного предмета с другим. Известны несколько типов переноса названий. Важнейшие из них — метафора или метонимия.
При метафоре перенос основан на сходстве вещей по цвету, форме, характеру движения и так далее. При всех метафорических изменениях какой-нибудь признак первоначального понятия остается
Омонимия
Многозначность слова настолько большая и многоплановая проблема, что самые разнообразные проблемы лексикологии так или иначе оказываются связанными с нею. В частности с этой проблемой некоторыми своими сторонами соприкасается и проблема омонимии. Омонимы — это слова, одинаковые по звучанию, но разные по своему значению.
Омонимы в ряде случаев возникают их полисемии, подвергнувшейся процессу разрушения. Но омонимы могут возникнуть и в результате случайных звуковых совпадений.
Ключ, которым открывают дверь, и ключ — родник или коса — прическа и коса — земледельческое орудие — эти слова имеют различное значение и различное происхождение, но случайно совпавшие в своем звучании. Омонимы различают лексические (относятся к одной части речи, напр.ключ — для открывания замка и ключ — родник.
источник) морфологические (относятся к разным частям речи, напр. три — числительное, три — глагол в повелительном наклонении), лексико- грамматические, которые создаются в результате конверсии, когда данное слово переходит в другую часть речи. например в анг. look- смотреть и look-взгляд.
Особенно много лексико-грамматических омонимов в английском языке. От омонимов нужно отличать омофоны и омографы. Омофонами называют разные слова, которые, различаясь при их принаписании, совпадают в произношении, например: лук — луг, Seite — страница и Saite — струна.
Омографами называют такие разные слова, которые совпадают по написанию, хотя и произносятся различно ( как в отношении звукового состава, так и и места ударения в слове), например Замок — замок .
Синонимия
Синонимы — это близкие по значению, но разно звучащие слова, выражающие оттенки одного понятия. Выделяются три вида синонимов: 1. Понятийные, или идеографические. Они отличаются друг от друга лексическим значением.
Это различие проявляется в разной степени обозначаемого признака (мороз — стужа, сильный, мощный, могучий), в характере его обозначения (ватник — стеганка — телогрейка), в обеъеме выражаемого понятия (знамя — флаг, дерзкий — смелый), в степени связанности лексического значения (коричневый — карий, черный — вороной). 2.
Синонимы стилевые, или функциональные. Они отличаются друг от друга сферой употребления, например, глаза — очи, лицо — лик, лоб — чело. Синонимы эмоционально — оценочные. Эти синонимы открыто выражают отношение говорящего к обозначаемому лицу, предмету или явлению.
Например, ребенка можно торжественно назвать дитя, ласкательно мальчуган и мальчонка, презрительно мальчишка и молокосос, а также усилительно — презрительно щенок, сосунок, сопляк.
3. Антонимы — объединения слов, противоположных по своему лексическому значению, например: верх — низ, белый — черный, говорить- молчать, громко- тихо.
Антонимия
Есть три вида антонимов: 1. Антонимы градуальной и координированной противоположности, например, белый — черный, тихо — громко, близкий — далекий, добрый — злой и так далее. У этих антонимов есть общее в их значении, которое и допускает их противопоставления.
Так понятия черный и белый обозначают противоположные цветовые понятия. 2. Антонимы дополняющей и конверсивной противоположности: война -мир, муж — жена, женатый — холостой, можно — нельзя, закрывать — открывать. 3. Антонимы дихотомического деления понятий.
Они часто являются однокоренными словами: народный — антинародный, законный — противозаконный, человечный — бесчеловечный.
Интерес представляет собой и т. н. внутрисловная антонимия, когда противопоставляются значения слов, имеющих одну и ту же материальную оболочку. Например, в русском языке глагол одолжить кому-нибудь денег значит «дать в долг», а одолжить у кого-нибудь денег уже означает взять у кого-нибудь в долг. Внутрисловное противопоставление значений получило название энантиосемии.
6. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Аксиоматический метод построения математической теории. Требования к системе аксиом: непротиворечивости, независимости, полноты. Аксиоматика Пеано. Понятие натурального числа с аксиоматических позиций. Модели системы аксиом Пеано.
Сложение и умножение натуральных чисел с аксиоматических позиций. Упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел. Вычитание и деление множества натуральных чисел с аксиоматических позиций. Метод математической индукции. Введение нуля и построение множества целых неотрицательных чисел.
Теорема о делении с остатком.
Основные понятия и определения
Число – это выражение определенного количества.
Натуральное число элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Натуральные числа (естественные числа) —числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
Аксиома – это основные исходные положения (самоочевидные принципы) той или иной теории, из которых путем дедукции, то есть чисто логическими средствами, извлекается все остальное содержание этой теории.
Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется — простым числом.
Составное число — это такое число, которое имеет более двух делителей.
§2. Аксиоматика натурального числа
Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным.
Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда.
Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков —немца Грассмана и итальянца Пеано.
Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Аксиомат&#
Источник: https://megalektsii.ru/s18314t1.html
Загрузка...
